Του Βασίλη Χατζηγιάννη*

“Όταν σπούδαζα μηχανικός, είχα την τύχη να παρακολουθώ το πρόγραμμα σπουδών του συγκεκριμένου Πανεπιστημίου που έκανε τη διδασκαλεία και τις εξετάσεις των μαθηματικών, κοινές τόσο για τους φυσικο - μαθηματικούς όσο και για τους μηχανικούς. Ακόμη είχα την μεγάλη τύχη να είμαι φοιτητής ενός μεγάλου μαθηματικού του 20ου αιώνα ο οποίος μάλιστα το 1957 έλυσε το 19ο πρόβλημα (από τα 23) του Hilbert που παρέμενε άλυτο για μισό και πλέον αιώνα. Στον καθηγητή μου αυτόν, τον αείμνηστο μεγάλο δάσκαλο των μαθηματικών και φιλόσοφο Ennio De Giorgi αφιερώνω το δημοσίευμα αυτό γιατί μου δίδαξε τα μαθηματικά και τη φιλοσοφική σκέψη πάνω στα μαθηματικά”.

Λέγεται ότι στο υπέρθυρο του κτιρίου της Σχολής που δημιούργησε ο Πλάτωνας στην Αθήνα το 387 π.Χ υπήρχε η επιγραφή: « Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην» , δηλαδή σε κανένα που δεν γνωρίζει γεωμετρία (μαθηματικά ) δεν επιτρέπεται να φοιτήσει στην Ακαδημία. Για τον φιλόσοφο Πλάτωνα αυτό είχε μια βαθύτερη σημασία, ότι δηλαδή οι φιλόσοφοι ήταν η άρχουσα τάξη. Επομένως η σχέση μαθηματικών και φιλοσοφίας είναι πολύ παλιά και πολύ βαθειά. Σε όλες τις εποχές της κουλτούρας και της μάθησης υπήρξαν φιλόσοφοι-μαθηματικοί και μαθηματικοί - φιλόσοφοι. Η φράση “ένας αδύνατος μαθηματικός δεν θα γίνει ποτέ ένας δυνατός φιλόσοφος” ανήκει στον Τσεχοσλοβάκο μαθηματικό, φιλόσοφο και θεολόγο Bernard Bolzano. Ο δέκατος έκτος αιώνας είναι ο αιώνας του απειροστικού λογισμού και υποδηλώνει μια σαφή φιλοσοφική σκέψη: την αποδοχή ή την απόρριψη του σημερινού απείρου. Μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών υπάρχει μια αμοιβαία σχέση που αναφέρεται σε ορισμένα προβλήματα, όχι σε όλα, γιατί σίγουρα υπάρχει μια φιλοσοφία που δεν είναι μαθηματική, αλλά ερμηνεύει την ιστορία, διερευνά τις ανθρώπινες σχέσεις και μελετά το έργο και την πρόβλεψη νέων κοινωνιών. Αντιστρέφοντας τον παραπάνω ισχυρισμό του Bolzano, μπορούμε επίσης να πούμε ότι ένας αδύνατος φιλόσοφος δεν θα γίνει ποτέ ένας δυνατός μαθηματικός.

Σύμφωνα με τον πλατωνικό ιδεαλισμό, oι μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό. Στην πραγματικότητα εμείς δεν εφευρίσκομε τις μαθηματικές σχέσεις, αλλά τις «ανακαλύπτομε»: αυτές υπάρχουν ανέκαθεν και σίγουρα υπάρχουν πριν να τις έχουμε συνειδητοποιήσει.

Ολόκληρο το Σύμπαν υπακούει σε αυστηρούς μαθηματικούς νόμους, αλλά αυτοί οι νόμοι υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν, ανεξάρτητα από την ύπαρξη του Σύμπαντος και του ανθρώπου.

Οι έννοιες του σημείου, της γραμμής, του επιπέδου, της περιφέρειας του κύκλου, της σφαίρας κλπ αναφέρονται σε οντότητες οι οποίες δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο, και όμως ο καθένας από εμάς τις έχει στο μυαλό του ως έμφυτες ιδέες: τα αντικείμενα που παρατηρούμε συμμετέχουν σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό, σ’ αυτές τις έννοιες με αποτέλεσμα να γεννούν και να δημιουργούν μέσα μας « την ανάμνηση » της αρχικής ιδέας. Ο Πλάτων είπε: Η γνώση είναι ανάμνηση .

Ας κάνουμε ένα απλόν στοχασμό: το Πυθαγόρειο Θεώρημα ορίζει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών.

Λοιπόν, όταν εγώ δεν θα υπάρχω πια, όταν ο πλανήτης Γη δεν θα υπάρχει πια, όταν το ηλιακό μας σύστημα δεν θα υπάρχει πια, όταν ο Γαλαξίας μας δεν θα υπάρχει πια, όταν το Σύμπαν δεν θα υπάρχει πια, το Πυθαγόρειο θεώρημα θα συνεχίζει να υπάρχει ως μια αμετάβλητη αιώνια αλήθεια.

Ο Γερμανός Φιλόσοφος Φρίντριχ Νίτσε μελετούσε προσεκτικά την πορεία των φυσικών επιστημών της εποχής του ώστε οι φιλοσοφικές του ιδέες να έχουν επιστημονικό υπόβαθρο.

Συνεπαρμένος ο Νίκος Καζαντζάκης από τη φιλοσοφία του Γερμανού φιλοσόφου Νίτσε έγραφε, αν θυμάμαι καλά, στο βιβλίο του «αναφορά στον Γκρέκο»:

“...Ο χρόνος, συλλογίστηκες είναι απεριόριστος η ύλη είναι περιορισμένη αναγκαστικά λοιπόν θα ’ρθει πάλι στιγμή που όλοι ετούτοι οι συνδυασμοί της ύλης θα ξαναγεννηθούν οι ίδιοι, οι απαράλλαχτοι. Ύστερα από χιλιάδες αιώνες ένας άνθρωπος σαν και μένα, εγώ ο ίδιος, θα σταθώ πάλι στο βράχο τούτον τον ίδιο και θα ξαναβρώ την ίδια ιδέα. Κι όχι μονάχα μια φορά, αναρίθμητες φορές καμιά λοιπόν ελπίδα το μελλούμενο να ’ναι καλύτερο, καμιά σωτηρία πάντα οι ίδιοι, απαράλλαχτοι, θα στριφογυρίζουμε στον τροχό του χρόνου. Και τα πιο εφήμερα καταντούν έτσι αιώνια, κι η πιο ασήμαντη πράξη παίρνει ανυπολόγιστη πια σημασία...”

Διαβάζοντας τα παραπάνω από το βιβλίο του Νίκου Καζαντζάκη θυμήθηκα ένα θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού Henri Poincare το «θεώρημα της επανάληψης» σύμφωνα με το οποίο ένα κλειστό σύστημα π.χ, εκλαϊκευμένα, μια σαμπρέλα μιας ρόδας αυτοκινήτου, αν τρυπήσει και ξεφουσκώσει μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα θα επανέλθει στην αρχική του κατάσταση, δηλαδή θα φουσκώσει μόνο του. Ποιος είναι όμως εκείνος ο οδηγός που θα περιμένει το έκτακτο αυτό αποτέλεσμα; Θα έπρεπε να περιμένει αιώνες.

Για τον Πυθαγόρα και τη σχολή του, οι ακέραιοι αριθμοί ήταν αιώνιες ιδέες. Ό, τι υπάρχει μπορεί να αχθεί σε αριθμό, επομένως η μεταφυσική Αρχή, δεν ήταν μοναδική, όπως για τους προκατόχους του, αλλά σχηματίζεται από μια μυριάδα αξιών, δηλαδή τους αριθμούς.

Ο Γαλιλαίος ισχυριζόταν ότι το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο με διαφορετικούς χαρακτήρες από το συνηθισμένο αλφάβητο, το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με μαθηματικούς χαρακτήρες, και πριν από την ανάγνωσή του, πρέπει να ξέρουμε το μαθηματικό αλφάβητο.

Από τότε, η φυσική έκανε πολλά βήματα μπροστά και όλα τα φυσικά φαινόμενα περιγράφονται με μαθηματικούς όρους.

Τώρα που η φυσική προχώρησε στην περιγραφή των αντικειμένων και των φαινομένων πέρα από την προσιτότητα των αισθήσεών μας και, με την εισαγωγή της κβαντικής μηχανικής, άρχισε να ερευνάται η εσώτατη ουσία της ύλης, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι η μόνη εφικτή περιγραφή είναι εκείνη με τα μαθηματικά.

Καμιά όψη του εμπειρικού κόσμου μας, τόσο θεωρώντας τον πραγματικό, όσο αν τον θεωρούμε απατηλό, δεν ξεφεύγει από την μαθηματική περιγραφή, ακόμη και οι αναλογίες του σώματός μας. Θα αναφέρω τρία παραδείγματα:

1). Το μήκος του χεριού μας από την άκρη των δακτύλων μας μέχρι τον ώμο το χωρίζει σε δύο κομμάτια ο αγκώνας: το ΑΒ που είναι το κομμάτι από την άκρη των δακτύλων μας μέχρι τον αγκώνα, και το ΒΓ που είναι το κομμάτι από τον αγκώνα μέχρι τον ώμο. ΑΓ είναι ολόκληρο το χέρι (από ην άκρη των δακτύλων μας μέχρι τον ώμο). Αν μετρήσομε αυτά τα κομμάτια του χεριού μας αλλά και ολόκληρο το χέρι μας θα δούμε ότι ισχύει μεταξύ των η μαθηματική σχέση ΑΓ / ΑΒ = ΑΒ / ΒΓ που ισούται πάντοτε με τον χρυσό αριθμό 1,618 περίπου, που είναι η χρυσή τομή του μήκους του χεριού μας. Η παραπάνω αναλογία συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα «φ» που είναι το αρχικό γράμμα του ονόματος του γλύπτη της αρχαιότητας Φειδία ο οποίος χρησιμοποιούσε συχνά τη χρυσή τομή στα έργα του. Η παραπάνω αναλογία υπάρχει από τότε που ο Θεός έπλασε τον άνθρωπο, όμως έπρεπε νε περάσουν εκατομμύρια χρόνια για να ανακαλύψουμε την μαθηματική αυτή σχέση.

2). Αν η Εύα δεν έτρωγε το μήλο που της πρόσφερε ο Διάβολος αλλά το πετούσε μακριά θα έκανε δύο καλά: α) δεν θα είχαμε τώρα την ευθύνη του προπατορικού αμαρτήματος και β) το μήλο θα έπεφτε στη Γη διαγράφοντας μια παραβολική τροχιά και έτσι θα είχαμε ανακαλύψει την καμπύλη της παραβολής από τότε. Επομένως εμείς οι άνθρωποι δεν εφεύραμε την καμπύλη εκείνη που λέγεται παραβολή, η καμπύλη αυτή υπήρχε ανέκαθεν και εμείς ανακαλύψαμε την εξίσωσή της ( x2 = 2py) και τον γεωμετρικό τρόπο χάραξής της εκατομμύρια χρόνια μετά.

3). Αμέσως μετά το Big Bang, αν η θεωρία αυτή είναι σωστή, με τη δημιουργία των ουρανίων σωμάτων παρουσιάστηκε το σχήμα της έλλειψης που είναι η τροχιά που διαγράφει το κάθε ουράνιο σώμα γύρω από τον Ήλιο του.

Όμως η εξίσωση της έλλειψης ( x2 /α2 + y2 /β2 = 1 ) ανακαλύφτηκε εκατομμύρια χρόνια μετά. Όλη η συμπεριφορά του Σύμπαντος διέπεται, από της γεννήσεώς του, από αυστηρούς Μαθηματικούς νόμους τους οποίους εμείς οι άνθρωποι τους ανακαλύψαμε εκατομμύρια χρόνια αργότερα.

Έλεγε ο Leibniz : “Αν στη τύχη σημειώσομε πάνω σε ένα φύλλο χαρτί διάφορα σημεία, μπορούμε πάντοτε να δημιουργήσομε μια μαθηματική εξίσωση τέτοια που να απεικονίζει εκείνο που κάναμε” .

Δεν είναι σύμπτωση το γεγονός ότι πολλοί μεγάλοι φιλόσοφοι ήταν συγχρόνως και μεγάλοι μαθηματικοί. Ο φιλόσοφος ερευνά την ενδότατη φύση της πραγματικότητας και, στην έρευνά της αναπόφευκτα έρχεται αντιμέτωπος με το γεγονός ότι, πέρα από την αβεβαιότητα του αισθητού κόσμου, πέρα από τις απατηλές παραστάσεις του μυαλού μας, πέρα από την εξαπάτηση των αισθήσεων, υπάρχει μόνο μία πραγματική σταθερά, ο νόμος των Μαθηματικών.

Ο αριθμός εννοούμενος ως αιώνια ιδέα δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό που χρησιμοποιούμε για να μετράμε χρήματα ή γεωμετρικά μεγέθη. Κοιτάζω μια ομάδα αλόγων, όλα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τα μετρώ και βλέπω ότι είναι οκτώ. Κάνω το ίδιο με μια ομάδα από οκτώ πρόβατα και με μια ομάδα από οκτώ κουνέλια. Μέτρησα λοιπόν τα μέλη των τριών ομάδων, αλλά δεν μπορώ να μην θεωρήσω ότι αυτές οι τρεις ομάδες όντων, τόσο διαφορετικά μεταξύ των, ότι ανήκουν στην ίδια αφηρημένη έννοια: η ιδέα του οκτώ που δεν έχει καμιά σχέση με άλογα, πρόβατα και κουνέλια .

Συμπερασματικά, μπορούμε να συνοψίσουμε όλο αυτό το σύντομο σημείωμα λέγοντας απλώς ότι: 2 +2 = 4 και χωρίς να το σκέφτομαι και με τη γενικότερη έννοιά του.

Έλεγε ο αείμνηστος καθηγητής μου στον οποίο ταπεινά αφιερώνω το άρθρο μου αυτό.

Στην αρχή και στο τέλος, έχομε το μυστήριο. Μπορούμε να πούμε ότι έχομε το σχέδιο του Θεού. Σ ’αυτό το μυστήριο τα μαθηματικά μας πλησιάζουν, αλλά στο μυστήριο δεν μπορούμε να εισχωρήσομε.

* Ο Βασίλης Χατζηγιάννης είναι μηχανολόγος μηχανικός, ομότιμος καθηγητής ΑΤΕΙ Κρήτης

[email protected]